高等数学
微积分、极限、导数与积分等核心内容，AI 与智能科学的数学基石。
第1学期
10 学分
数学与自然科学
总体进度
章节进度
第一章 函数与极限 已完成
第二章 导数与微分 已完成
第三章 中值定理与导数应用 学习中
第四章 不定积分 学习中
第五章 定积分 未开始
第六章 定积分应用 未开始
第七章 微分方程 未开始
第八章 多元函数微分 未开始
使用书籍
普林斯顿微积分读本
Adrian Banner
学习中学习笔记
极限的 ε-δ 定义
对任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 0 < |x - x₀| < δ 时，|f(x) - A| < ε。核心思想：通过控制自变量的接近程度来保证函数值的接近程度。关键不在于找到具体的 δ，而在于证明这样的 δ 存在。
导数的几何意义
f'(x₀) 表示曲线 y=f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率。导数本质上是瞬时变化率，即 Δy/Δx 当 Δx→0 时的极限。链式法则：[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)，类似于"层层剥洋葱"。
中值定理的理解
罗尔定理 → 拉格朗日中值定理 → 柯西中值定理，是逐步推广的关系。拉格朗日中值定理：f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)，说明在区间内至少存在一点切线与割线平行。直觉：平均速度等于某时刻的瞬时速度。
不定积分与导数的关系
积分是导数的逆运算。∫f(x)dx 表示所有导数为 f(x) 的函数族。换元法（第一类）：设 u=g(x)，则 ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du。分部积分：∫u dv = uv - ∫v du，适用于乘积形式的被积函数。